z-scoreに変換しても相関係数は変わらない

この記事は何？

機械学習の前処理として特徴量のスケーリングを行うことがありますが，スケーリング手法の1つとしてz-score変換があります．
z-scoreは平均が0，標準偏差が1となるようにスケーリングを行います，z-scoreを10倍して50を加えるとお馴染みの偏差値になります．

特徴量 $X$ と $Y$ の相関係数を $\rho$ とします．このとき， $X$ をz-score化した $X'$ と $Y$ の相関係数 $\rho'$ を考えます．
直感的には $\rho$ と $\rho'$ は等しくなるんじゃないかなと思いますが，本当に等しくなるのか確かめてみたときのメモです

証明

結論から先に言うと， $\rho$ と $\rho'$ は等しくなります．

z-score変換は，平均を引いて標準偏差で割って求めるため，線形変換です．
そこで， $X'=aX+b$ とし， $\rho=\rho'$ となることを示します．

$\rho'= \frac{{\rm cov}[X', Y]}{\sqrt{ V[X' ]V[Y] }}\\ = \frac{E[X'Y] - E[X']E[Y]}{\sqrt{ V[X' ]V[Y] }}\\ = \frac{E[aXY+bY ] - E[aX+b]E[Y]}{\sqrt{ V[X' ]V[Y] }}\\ = \frac{aE[XY] + bE[Y] - (aE[X]+b)E[Y]}{\sqrt{ V[X' ]V[Y] }}\\ = \frac{a(E[XY]-E[X]E[Y])}{\sqrt{ V[X' ]V[Y] }} \\ = \frac{a(E[XY]-E[X]E[Y])}{\sqrt{ V[aX+b ]V[Y] }} \\ = \frac{a(E[XY]-E[X]E[Y])}{a\sqrt{ V[X ]V[Y] }} \\ = \frac{E[XY]-E[X]E[Y]}{\sqrt{ V[X ]V[Y] }} \\ = \rho$